[물리화학] 7C 연산자와 가관측량

[물리화학] 7B 파동함수

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7C 연산자와 가관측량

* 연산자
: 한 함수를 다른 함수로 바꾸어 줄 수 있는 수학적인 연산
- 슈뢰딩거 방정식 속 연산자

: -(ℏ²/2m)(d²ψ/dx²) + Vψ = Eψ 를 해밀톤 연산자로 표현 시, (해밀톤 연산자)ψ = Eψ

- 해밀톤 연산자의 기호 : H위에 ^를 추가로 그려넣은 모양

: H^ = {-(ℏ²/2m)(d²/dx²) + V}×

- 연산자의 의미 : 전체 에너지(운동 에너지 + 퍼텐셜 에너지)에 대응하는 연산자

- 외워둘 연산자
위치 연산자 = x^ = x ×

선형 운동량 연산자 = p_x^ = (ℏ/¡)(d/dx) 

운동 에너지 연산자 = Ek^ = -(ℏ2/2m)(d2/dx2)
해밀톤 연산자 = H^ = {-(ℏ2/2m)(d2/dx2) + V}×

- 고유치 방정식
: 연산자를 함수에 작용시키면 그 함수가 상수를 곱한 결과가 나올 때 만족
(연산자)(함수) = (수치 인자) × (동일 함수)
고유 함수 : 어떤 연산에 대해 자기 자신에 상수가 곱해진 값이 나오는 함수 (ψ)
고유치 : 고유 함수에 곱해지는 상수 값 ( = 수치 인자)

- 가관측량
: 파동함수가 가관측량 운동량에 대응하는 운동 연산자의 고유함수일 때는 그 고유함수에 대응하는 고유치가 바로 성질 운동량의 측정 결과와 같음

- 에르미트 연산자 (Hermite 연산자)
∫ψ*_i(연산자)ψ_j dτ = {∫ψ*_j(연산자)ψ_i dτ}*
위의 관계가 성립하는 연산자 = 에르미트 연산자
: 에르미트 연산자의 고유치는 항상 실수
: 양자 역학의 모든 연산자들은 에르미트 연산자
: 가관측량들(위치, 운동량, 에너지 등등)은 항상 실수
: 에르미트 연산자의 다른 고유치에 대응하는 파동함수들은 서로 직교
( = 다른 파동함수들의 곱의 적분 = 0)



* 중첩과 기대치
- 중첩 (선형결합)
: 파동함수가 한 연산자의 고유 함수가 아닐 때, 고유 함수들의 중첩 (선형결합)으로 표현 가능

e^(iØ) = cosØ + i sinØ
cosØ = (1/2)(e^(iØ) + e^(-iØ))
sinØ = (i/2)(e^(iØ) - e^(-iØ))

ψ = c1ψ + c2ψ + ··· = ∑ c_(k) ψ_(k) ; 고유 함수들의 선형 결합

단 한 번만 측정 시 어느 한 ψ_(k)의 고유치가 나옴

여러 번 측정 시 어느 하나의 ψ_k의 고유치가 나타날 확률은 |c_k²|에 비례

- Ω^의 기대치
<Ω> = ∫ψ*(Ω^)ψ dτ ; 정규화된 파동함수에 적용하는 식
ψ가 Ω^의 고유함수라면, 모든 측정은 하나의 단일 고유치 ω를 나타냄 (기대치 = ω)

<Ω> = ∑ |c_k²| ω_k     ; 선형 결합인 경우의 기대치

* 불확정성 원리
- Heisenberg의 불확정성 원리
: 알맹이의 운동량과 위치를 모두 동시적으로 정확히 명시 불가

- 상보적 가관측량
: 하나의 파동함수에 연산자 순서를 다르게 했을 때 그 결과가 서로 다르다면, 두 연산자는 상보적 ( = 동시에 측정이 불가)







* 수정해야 할 개념, 혹은 표현이 있다면, 댓글에 달아주시면 감사하겠습니다. *

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